Mathématiques, physiques et chimie, français, anglais

Cours suites numériques I – Généralités Une suite numérique est une application de N dans R. • Suite bornée Une suite (Un) est majorée s'il existe un réel A tel que, pour tout n, Un ≤ A. On dit que A est un majorant de la suite. Une suite (Un) est minorée s'il existe un réel B tel que, pour tout n, B ≤ un. On dit que B est un minorant de la suite. Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe M tel que |Un| ≤ M pour tout n. • Suite convergente La suite (Un) est convergente vers l ∈ R si : ∀ε>0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 |un−l| ≤ ε. Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente. Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique. La suppression d'un nombre fini de termes ne modifie pas la nature de la suite, ni sa limite éventuelle. Toute suite convergente est bornée. Une suite non bornée ne peut donc pas être convergente. • Limites infinies On dit que la suite (un) diverge Vers +∞ si : ∀A>0 ∃n0∈N ∀n ≥ n0 Un≥A Vers −∞ si : ∀A>0 ∃n0∈N ∀n≤ n0 Un≤A. • Limites connues Pour k>1, α>0, β>0 II Opérations sur les suites • Opérations algébriques Si (un) et (vn) convergent vers l et l’, alors les suites (un+vn), (λun) et (unvn) convergent respectivement vers l + l’, ll et ll’. Si (un) tend vers 0 et si (vn) est bornée, alors la suite (unvn) tend vers 0. • Relation d'ordre Si (un) et (vn) sont des suites convergentes telles que l'on ait un ≤ vn pour n≥n0, alors on a : Attention, pas de théorème analogue pour les inégalités strictes. • Théorème d'encadrement Si, à partir d'un certain rang, un ≤xn≤ vn et si (un) et (vn) convergent vers la même limite l, alors la suite (xn) est convergente vers l. III Suites monotones • Définitions La suite (un) est croissante si un+1≥un pour tout n; décroissante si un+1≤un pour tout n; stationnaire si un+1=un pour tout n. • Convergence Toute suite de réels croissante et majorée est convergente. Toute suite de réels décroissante et minorée est convergente. Si une suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +∞. • Suites adjacentes Les suites (un) et (vn) sont adjacentes si : (un) est croissante ; (vn) est décroissante ; Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la même limite. Si (un) croissante, (vn) décroissante et un≤vn pour tout n, alors elles convergent vers l1 et l2. Il reste à montrer que l1=l2 pour qu'elles soient adjacentes. IV Suites extraites • Définition et propriétés – La suite (vn) est dite extraite de la suite (un) s'il existe une application φ de N dans N, strictement croissante, telle que vn=uφ(n). On dit aussi que (vn) est une sous-suite de (un). – Si (un) converge vers l, toute sous-suite converge aussi vers l. Si des suites extraites de (un) convergent toutes vers la même limite l, on peut conclure que (un) converge vers l si tout un est un terme d'une des suites extraites étudiées. Par exemple, si (u2n) et (u2n+1) convergent vers l, alors (un) converge vers l. • Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite de réels bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. V Suites de Cauchy • Définition Une suite (un) est de Cauchy si, pour tout ε positif, il existe un entier naturel n0 pour lequel, quels que soient les entiers p et q supérieurs ou égaux à n0, on ait |up−uq|<ε. Attention, p et q ne sont pas liés. • Propriété Une suite de réels, ou de complexes, converge si, et seulement si, elle est de Cauchy SUITES PARTICULIERES I Suites arithmétiques et géométriques • Suites arithmétiques Une suite (un) est arithmétique de raison r si : ∀ n∈N un+1=un+r Terme général : un =u0+nr. Somme des n premiers termes : • Suites géométriques Une suite (un) est géométrique de raison q≠0 si : ∀ n∈N un+1=qun. Terme général : un=u0qn Somme des n premiers termes : II Suites récurrentes • Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 : – Une telle suite est déterminée par une relation du type : (1) ∀ n∈N aUn+2+bUn+1+cUn =0 avec a≠0 et c≠0 et la connaissance des deux premiers termes u0 et u1. L'ensemble des suites réelles qui vérifient la relation (1) est un espace vectoriel de dimension 2. On en cherche une base par la résolution de l'équation caractéristique : ar2+br+c=0 (E) – Cas a, b, c complexes Si ∆≠0,(E) a deux racines distinctes r1et r2. Toute suite vérifiant (1) est alors du type : où K1 et K2 sont des constantes que l'on exprime ensuite en fonction de u0 et u1. Si ∆=0, (E) a une racine double r0=(-b)/2a. Toute suite vérifiant (1) est alors du type : – Cas a, b, c réels Si ∆>0ou ∆=0, la forme des solutions n'est pas modifiée. Si ∆<0, (E)a deux racines complexes conjuguées r1=α+iβ et r2=α−iβ que l'on écrit sous forme trigonométrique r1=ρeiθ et r2=ρe-iθ Toute suite vérifiant (1) est alors du type : • Suites récurrentes un+1=f(un) – Pour étudier une telle suite, on détermine d'abord un intervalle I contenant toutes les valeurs de la suite. – Limite éventuelle Si (un) converge vers l et si f est continue en l, alors f(l)=l. – Cas f croissante Si f est croissante sur I, alors la suite (un) est monotone. La comparaison de u0 et de u1 permet de savoir si elle est croissante ou décroissante. – Cas f décroissante Si f est décroissante sur I, alors les suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones et de sens contraire Fait par LEON

Professeur expérimenté gradué de Fac. des Sciences et de Fac. de Médecine de France donne des leçons particulières de Mathématiques - Analyse - Matrices - Statistiques - Algèbre - Physique - Chimie - Biologie de programmes français, Québécois CEGEP ou International (in English) aux élèves de classes secondaires, Terminales, Brevet, Concours et aux classes préparatoires universitaires pour l'année académique 2022/2023. Ainsi que je peux aider les élèves qui suivent CNED et ceux qui préparent aux examens de SAT. Les cours auront lieu soit à domicile soit online par une méthode spécifique très modernisée de tableau interactif partagé équipé des outils d'écriture où je peux avec l'élève écrire et corriger les devoirs en les exposant directement de plus que Zoom ou Skype pour se communiquer (Méthode très pratique comme à la maison). Résultats de mes étudiants online depuis 2015 de Terminale étaient avec mentions TRÈS BIEN, BIEN ET EXCELLENT. Contactez-moi pour plus de détails.

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Cours de soutien scolaire mathématiques physique et chimie Revue des cours , devoirs, exercices préparation aux examens De formation scientifique ingénieur, je suis resté passionné par les sciences et j’aime transmettre aux élèves de tous ages pour les accompagner dans leur études ou perfectionnement

En tant que professeur de mathématiques hautement qualifié, diplômé de l'école supérieure des professeurs et fort de 11 années d'expérience en enseignement dans des lycées publics, je suis heureux de proposer des cours de soutien scolaire en mathématiques à domicile pour les élèves de niveau T et Tronc Commun Sciences, TC Technologique, 1ère Bac Sciences expérimentales et terminale de toutes les filières (SVT-PC-SC.Math-L), ainsi que pour les classes de 2nde et 1ère générale, Terminale spécialité du système français, ainsi que les niveaux 5ème, 4ème et 3ème du collège. Mon objectif premier est d'aider les élèves à améliorer leur niveau, à approfondir leurs connaissances, à assimiler leurs cours, à combler leurs lacunes et à se perfectionner dans la discipline des mathématiques. De plus, je suis parfaitement en mesure de les accompagner dans la préparation de leurs examens et concours d’accès aux grandes écoles, et de leur fournir une aide aux devoirs pour qu'ils puissent réussir dans cette matière. Avec mes compétences et mes connaissances avancées en mathématiques, je suis convaincu que je peux offrir à mes élèves des outils et des techniques efficaces pour les aider à progresser. Mon but est de leur donner confiance en eux et de les aider à développer une passion pour les mathématiques, une matière qui peut sembler intimidante au premier abord, mais qui peut être passionnante et enrichissante si elle est enseignée de manière intéressante et ludique. En choisissant mes cours de soutien scolaire en mathématiques, les élèves peuvent s'attendre à recevoir une attention individuelle et une aide personnalisée pour surmonter leurs difficultés et atteindre leurs objectifs. Mon approche pédagogique est interactive et centrée sur l'élève, ce qui permet une compréhension plus profonde des concepts mathématiques et une application plus pratique des connaissances acquises. En résumé, je suis confiant dans mes compétences en tant que professeur de mathématiques pour aider les élèves de tous les niveaux à progresser et à réussir dans cette matière exigeante. Je suis convaincu que mes méthodes d'enseignement dynamiques et stimulantes aideront mes élèves à atteindre leurs objectifs en mathématiques et à acquérir une confiance en eux qui les suivra tout au long de leur vie.

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